1.1 已知n+1个节点x_i及y_i=f(x_i)(i=0,…,n)，编写n次Lagrange差值与n次Newton差值的通用程序。然后根据给定的数据表：

x	0.46	0.47	0.48	0.49
f(x)	0.4846555	0.4937452	0.5027498	0.5116683

利用所编的通用程序计算f(0.485)

编程思想：

Lagrange差值公式：

计算程序：

Lagrange差值通用程序：

function y=fun_test_1_1_Lagrange(x,x1,y1)

% Lagrange插值法

for nx=1:length(x)

for nx1=1:length(x1)

tempx=x1;

tempx(nx1)=[];

temp1=x(nx)-tempx;

temp2=x1(nx1)-tempx;

lx(nx1)=prod(temp1)/prod(temp2);

end

y(nx)=sum(y1.*lx);

end

Newton插值通用程序：

function y=fun_test_1_1_Newton(x,x1,y1)

% Newton插值法

for nx=1:length(x)

temp1=y1(1);

temp2=y1(2);

lk(1)=y1(1);

yk(1)=1;

for nx1=2:length(x1)-1

temp11=(temp2-temp1)/(x1(nx1)-x1(nx1-1));

temp2=(y1(nx1+1)-temp1)/(x1(nx1+1)-x1(nx1-1));

temp1=temp11;

lk(nx1)=temp1;

yk(nx1)=prod(x(nx)-x1(1:nx1-1));

end

y(nx)=sum(yk.*lk);

end

计算结果：

Lagrange差值:f(0.485)= 0.507219875

Newton差值:f(0.485)= 0.5072201875

1.2 已知n+1个等距节点x_i=x₀+ih及y_i=f(x_i)(i=0…,n)，编写Newton向前插值和向后插值的通用程序，然后根据给定的数据：

x	1.3	1.31	1.32	1.33
f(x)	3.6021	3.7471	3.9033	4.0723

利用所编的通用程序分别计算f(1.305)和f(1.325).

编程思想：

向前查分符：

向后查分符：

取等距节点x_i=x₀+i_h，y_i=f(x_i)，

（1）Newton向前插值公式：

（2）Newton向后插值公式：

计算程序：

（1）向前差值通用程序

function y=test_1_2_forword(x,x0,h,y1)

% 牛顿向前差分

for nx=1:length(x)

temp1=y1(1);

temp2=y1(2);

lk(1)=1;

yk(1)=y1(1);

t=(x(nx)-x0)/h;

for nx1=2:length(y1)-1

lk(nx1)=prod(t-(0:nx1-2))/factorial(nx1-1);

temp1=temp2-temp1;

temp2=y1(nx1+1)-temp2;

yk(nx1)=temp1;

end

y(nx)=sum(yk.*lk);

end

（2）向后差分通用程序

function y=test_1_2_backword(x,x0,h,y1)

% 牛顿向前差分

for nx=1:length(x)

temp1=y1(end);

temp2=y1(end-1);

lk(1)=1;

yk(1)=y1(end);

t=(x(nx)-x0)/h;

for nx1=2:length(y1)-1

lk(nx1)=prod(t-(0:nx1-2))/factorial(nx1-1);

temp1=temp1-temp2;

temp2=temp2-y1(length(y1)-nx1);

yk(nx1)=temp1;

end

y(nx)=sum(yk.*lk);

end

主程序：

clear,clc

format long

x1=[1.3,1.31,1.32,1.33];

y1=[3.6021,3.7471,3.9033,4.0723];

x=[1.305,1.325];

%前插Newton插值

disp('前插Newton插值')

y=test_1_2_forword(x,1.3,0.01,y1)

%后插Newton插值

disp('后插Newton插值')

y=test_1_2_backword(x,1.33,0.01,y1)

计算结果：

（1）向前差分：

f(1.305)和f(1.325)分别为：3.6732和3.9856

（2）向后差分：

f(1.305)和f(1.325)分别为：3.7058和3.9926

1.3 给定函数，分别取n=5,10,20，在区间[-5,5]上取等距节点做n次Lagrange差值，画图给出n次Lagrange差值多项式的图像并与f(x)的图像进行比较。

编程思想：

与1.1相同。

计算程序：

clear,clc

format long

n=5;

[email protected](x)1./(1+x.^2);

x1=linspace(-5,5,n);

x=linspace(-5,5,1000);

%lagrange插值

y=fun_test_1_1_Lagrange(x,x1,fx(x1));

plot(x1,fx(x1),x,y)

计算结果：

1.4 取n=20，利用给出所需数据在区间[-5,5]上取n+1个等距节点，分别作分段线性插值和分段三次Hermite插值，画图给出分段线性插值和分段三次Hermite插值多项式的图像，并与f(x)的图像进行比较，另外，以你的教学好的后三位构造[3.7,3.8]内的点x_c，给出两种插值多项式在x_c处的值。

编程思想：

分段三次Hermite插值公式：

分段线性插值：

计算程序：

分段三次Hermite插值公通用程序：

function y=fun_test_1_4_Hermite(xm,xn,f,df)

% 三次Hermite插值法

% x为插值点，x1和y1分别为已知数据的自变量和因变量

% dy为因变量的导数

for nx=1:length(xm)

x=xm(nx);

nn1=max(find(xn<=xm(nx)));

nn2=min(find(xn>=xm(nx)));

x0=xn(nn1);

x1=xn(nn2);

temp1=(1-2*(x-x0)/(x0-x1))*((x-x1)/(x0-x1))^2*f(nn1);

temp2=(x-x0)*((x-x1)/(x1-x0))^2*df(nn1);

temp3=(1-2*(x-x1)/(x1-x0))*((x-x0)/(x1-x0))^2*f(nn2);

temp4=(x-x1)*((x-x0)/(x0-x1))^2*df(nn2);

y(nx)=temp1+temp2+temp3+temp4;

end

分段线性插值通用程序：

function y=fun_test_1_4_line(xm,xn,f)

% 线性插值

for nx=1:length(xm)

x=xm(nx);

nn1=max(find(xn<=xm(nx)));

nn2=min(find(xn>=xm(nx)));

x0=xn(nn1);

x1=xn(nn2);

y(nx)=(x-x1)/(x0-x1)*f(nn1)+(x-x0)/(x1-x0)*f(nn2);

end

计算主程序：

clear,clc

format long

n=10;

[email protected](x)1./(1+x.^2);

[email protected](x)-2*x./(1+x.^2).^2;

x1=linspace(-5,5,n+1);

y1=fx(x1);

x=linspace(-5,5,100);

yH=fun_test_1_4_Hermite(x,x1,fx(x1),dfx(x1))

plot(x1,fx(x1),x,yH,'p')

hold on

yL=fun_test_1_4_line(x,x1,fx(x1))

plot(x,yL,'-o')

计算结果：

分段三次Hermite插值和分段线性插值的f(3.7403)分别为：0.06666和0.06952.