0.1 以非线性函数f(x)及其导数f¢(x)和有根区间[a,b]为参数编写二分法、Newton法、简化Newton法和割线法的通用程序。其中Newton法和简化Newton法的迭代初值x₀取为有根区间的中点，割线法x₀和x₁分别取为a、b。误差取ε=10^-6。

编程思路：

二分法：

1、c=(a+b)/2；

2、若f(x)=0，则x₀=c，程序终止；

3、若f(a) f(c)>0，令a=c，否则令b=c；

4、对新的a、b重复上述三步。

通用程序：

function [x,n,eps1]=solve_x0_dichotomy(f,a,b,x0,N,eps)

% 二分法求根

% f为函数表达式，a为下限，b为上限，N为迭代次数，

% eps为计算误差，x0为迭代的初值

n=1;

eps1=2*eps;

while eps1>eps

if n>N

x=x0;

break;

end

if f(x0)==0

x=x0;

break;

end

if f(a)*f(x0)>0

a=x0;

n=n+1;

else

b=x0;

n=n+1;

end

x0=(a+b)/2;

eps1=abs(x0-a);

x=x0;

end

Newton法：

编程思路：

通用程序：

function [x,n,eps1]=solve_x0_Newton(f,df,x0,N,eps)

% Newton法求根

% f为函数表达式，df为函数的偏导，，x0为迭代的初值

% a为下限，b为上限，N为迭代次数，eps为计算误差

n=1;

eps1=2*eps;

while eps1>eps

if n>N

x=x0;

break;

end

x=x0-f(x0)/df(x0);

eps1=abs(x0-x);

x0=x;

n=n+1;

end

简化Newton法：

编程思路：

通用程序：

function [x,n,eps1]=solve_x0_simple_Newton(f,df,a,b,x0,N,eps)

% 简化Newton法求根

% f为函数表达式，df为函数的偏导，

% a为下限，b为上限，N为迭代次数，eps为计算误差，x0为迭代的初值

n=1;

eps1=2*eps;

while eps1>eps

if n>N

x=x0;

break;

end

x=x0-f(x0)/df((a+b)/2);

eps1=abs(x0-x);

x0=x;

n=n+1;

end

割线法：

编程思路：

通用程序：

function [x,n,eps1]=solve_x0_Secant(f,a,b,x1,x0,N,eps)ac

% 割线法法求根

% f为函数表达式，a为下限，b为上限，N为迭代次数，eps为计算误差

% x0、x1为迭代的两个初值

n=1;

eps1=2*eps;

while eps1>eps

if n>N

x=x0;

break;

end

x=x0-f(x0)/((f(x0)-f(x1))/(x0-x1));

eps1=abs(x0-x);

x1=x0;

x0=x;

n=n+1;

end

0.2 先用作图的办法确定有根区间[a,b]，然后应用上题的通用程序求下列方程所示的根。比较几种方法的迭代步数。

1）x=1+0.3 cos x的根；

2）cos x=0.5 + sin x的最小正根；

3）e^–x=sin x的最小正根。

编程思想：

和0.1相同。

1）x=1+0.3 cos x的根；

a取-6，b取10，

计算程序：

clear,clc

[email protected](x)x-1-0.3*cos(x);

[email protected](x)1+0.3*sin(x);

N=200;

a=-6;

b=10;

eps=1e-6;

x0=(a+b)/2;

%二分法

disp('二分法')

[x,n,eps1]=solve_x0_dichotomy(f,a,b,x0,N,eps)

%Newton法

disp('Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_Newton(f,df,x0,N,eps)

%简化Newton法

disp('简化Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_simple_Newton(f,df,a,b,x0,N,eps)

%割线法

disp('割线法')

x0=a;

x1=b;

[x,n,eps1]=solve_x0_Secant(f,a,b,x0,x1,N,eps)

计算结果：x=1.1284

计算方法	二分法	Newton法	简化Newton法	割线法
迭代步数	24	5	5	6

2）cos x=0.5 + sin x的最小正根；

a取0，b取1，

计算程序：

clear,clc

[email protected](x)cos(x)-0.5-sin(x);

[email protected](x)-sin(x)-cos(x);

N=200;

a=0;

b=1;

eps=1e-6;

x0=(a+b)/2;

%二分法

disp('二分法')

[x,n,eps1]=solve_x0_dichotomy(f,a,b,x0,N,eps)

%Newton法

disp('Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_Newton(f,df,x0,N,eps)

%简化Newton法

disp('简化Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_simple_Newton(f,df,a,b,x0,N,eps)

%割线法

disp('割线法')

x0=a;

x1=b;

[x,n,eps1]=solve_x0_Secant(f,a,b,x0,x1,N,eps)

计算结果：x=0.4240

计算方法	二分法	Newton法	简化Newton法	割线法
迭代步数	20	4	5	6

3）e^–x=sin x的最小正根。

a取0，b取1，

计算程序：

clear,clc

[email protected](x)exp(-x)-sin(x);

[email protected](x)-exp(-x)-cos(x);

N=200;

a=0;

b=1;

eps=1e-6;

x0=(a+b)/2;

%二分法

disp('二分法')

[x,n,eps1]=solve_x0_dichotomy(f,a,b,x0,N,eps)

%Newton法

disp('Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_Newton(f,df,x0,N,eps)

%简化Newton法

disp('简化Newton法')

[x,n,eps1]=solve_x0_simple_Newton(f,df,a,b,x0,N,eps)

%割线法

disp('割线法')

x0=a;

x1=b;

[x,n,eps1]=solve_x0_Secant(f,a,b,x0,x1,N,eps)

计算结果：x=0.5885

计算方法	二分法	Newton法	简化Newton法	割线法
迭代步数	20	5	6	7

0.3 利用你教学号的后三位为小数点后三位构造区间[5,6]内的数a。令f(x)=x³–a，

其中

取初值x₀=2，误差取ε=10^-6，分别用Newton法和迭代格式

求解，比较二者的收敛速度。

计算程序：

clear,clc

a0=5.504;

[email protected](x)x.^3-a0;

[email protected](x)3*x.^2;

[email protected](x)1./(3*x.^2);

[email protected](x)0.5*6*x./(3*x.^2).^3;

N=200;

eps=1e-6;

x0=2;

[x,n,eps1]=solve_x0_Newton(f,df,x0,N,eps)

eps1=2*eps;

n=1;

while eps1>eps

if n>N

x=x0;

break;

end

x=x0-p(x0)*f(x0)-q(x0)*f(x0)^2;

eps1=abs(x0-x);

x0=x;

n=n+1;

end

x

n

eps1

计算结果：

=1.7656；Newton法的迭代步数为5，迭代法的迭代步数为4.